Risk Premium and Fair Option Prices under Stochastic Volatility: the HARA solution

We have solved the problem of finding (HARA) fair option price under a general stochastic volatility model. For any HARA utility, the "risk premium," i.e., the "market price of volatility risk" is determined via a solution of a certain nonlinear PDE. Equivalently, the fair option price is determined as a solution of an uncoupled system of a non-linear PDE and a Black–Scholes type PDE. Résumé Prime de risque et prix de l'option sous l'hypothèse de volatilité stochastique. Nous résolvons le problème de la détermination du prix de l'option sous un modèle général de volatilité stochastique. Pour toute fonction d'utilité HARA, "la prime de risque", i.e. le prix du marché associé au risque de volatilité, est déterminé en utilisant la solution d'une EDP non linéaire certaine. De la même façon, le prix de l'option est déterminé comme solution d'un système découplé d'une EDP non linéaire et d'une EDP de type Black-Scholes. Version française abrégée Considérons un « marché boursier à volatilité stochastique », consistant d’un titre unique au prix YHtL à la date t et vérifiant le système suivant d’équations différentielles stochastiques de type Itô (0.1) „ YHtL = YHtL H Ht, YHtL, HtLL 1Ht, YHtL, HtLLL „ t + YHtL pHt, YHtL, HtLL „ B1HtL „ HtL = qHt, YHtL, HtLL „ t + wHt, YHtL, HtLL IrHt, YHtL, HtLL „ B1HtL + è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 rHt, YHtL, HtLL2 „ B2HtLM où B1 et B2 représentent des mouvements browniens indépendants, est le taux d’appréciation du titre, 1 est le dividende, p est la volatilité, et v est un facteur scalaire arbitraire (par exemple, la volatilité : pHt, Y, L = ) à direction q , à diffusion w et où -1 § r § 1 est le coefficient de corrélation entre prix et facteur. Soit également un marché à options constitué d’une option unique sur le titre ci-dessus, de gain fixe uHYL à la date de maturité T , et au prix V Ht, YHtL, HtLL à la date t < T , et où V Ht, Y, L est une fonction inconnue a priori. Soit X > 0, la richesse. L’utilité associée à la richesse est mesurée par une fonction d’utilité de type HARA : y g HX L = X1-g ê H1 gL pour g œ H0, ¶L, g ∫ 1, et y1HX L = logHX L . Considérons une stratégie de couverture du portefeuille par autofinancement PHt, X , Y, L = 8P1, P2< , où P1 est la valeur monétaire de l’investissement dans l’action et P2 est la valeur de l’investissement dans l’option. Etant donné (0.1), et pour une stratégie fixe P , il existe une EDS qui caractérise l’évolution de la richesse X HtL = XHtL . La stratégie de portefeuille g-optimale (le problème de Merton), notée P g ø = 8P g ø 1 , P g ø 2 < est telle que :